通过上面的说明，现在我们大概可以说服司汤达了：在乘法对加法的左分配律、右分配律和乘法的交换律三个性质里，只要觉得其中有两个是必需的，那么负负就必须得正。五、分配律的重要性也许我们还应该补充说明一下为什么我们希望被推广后的乘法有左右分配律，为什么它们是重要的。首先，自然数乘法具有左右分配律和交换律。我们当然希望推广到整数的乘法能够保持尽量多的原运算所具有的性质。其次，左右分配律是联系加法和乘法的纽带。在整数上有加法和乘法，我们希望它们能够 " 合作得好 "，而不是各自管各自，没有什么联系。
从代数学的角度来看，左右交换律是比 " 负数 " 概念更基本的性质，它可以推广到更为抽象的数学结构上去。整数之所以能够被分为 " 正数 " 和 " 负数 " 以及 " 零 " 三个部分，是因为在整数集上有一个序结构，也就是各整数之间可以比大小，于是我们就把大于零的那些叫 " 正数 "，把小于零的那些叫 " 负数 "。但是在更为一般的数学对象中，比如复数集，比如系数为整数（或有理数、实数、复数等）的一元多项式集合，或是元素为整数（或有理数、实数、复数等）的 n×n 矩阵的集合中，尽管还能够定义加法和乘法，但象整数中的这种序结构却不存在，无法将其中元素分成正负两大类。但因为乘法的左右分配律，这些集合上的乘法还是满足 " 负负得正 " 的性质，只是此时的 " 负负得正 " 应该理解成 "a 的加法逆元乘以 b 的加法逆元等于 a 乘以 b"。
事实上，上面我们举的具有加法和乘法的复数集、一元多项式集合和 n×n 矩阵集合，都是一种叫做环的数学结构，在某种程度上可以看作是对具有加法和乘法的整数集（叫整数环）的推广。环的定义分为三部分，一部分是加法的性质，一部分是乘法的性质，最后一部分是加法和乘法的联系——不出所料，这第三部分不多不少，就是由乘法对加法的左右分配律组成。
五、
中文维基百科中环的定义。此定义形式并不严格，在此只为说明左右分配律的重要性六、最后的抬杠当然，我们也可以想象司汤达还继续问下去：" 我并不觉得那三个性质是必需的，我只觉得交换律是必需的，而无所谓左右分配律是否成立，那么负负得正吗？"那么，这时就可以找出整数的并不是负负得正的 " 乘法 " 来了。如果这样定义运算 ⊗：对任意两个整数 a 和 b，如果 a 和 b 都是自然数，则 a⊗b=a×b；如果 a 和 b 中有一个是负数，那么 a⊗b=- ( a×b ) 。我们就得到了一个满足交换律却负负得负的 " 乘法 "：如果 a 和 b 都是负数，那么 a×b 是正数，而 a⊗b=- ( a×b ) 则是负数。当然，这样的 " 乘法 " 再也不可能满足对整数加法的左分配律和右分配律，比如：
( -2 ) ⊗ ( 1+ ( -1 ) ) = ( -2 ) ⊗0 = - ( 2×0 ) = 0而 ( -2 ) ⊗1+ ( -2 ) ⊗ ( -1 ) = ( - ( 2×1 ) ) + ( - ( 2×1 ) ) = ( -2 ) + ( -2 ) = -4所以 ( -2 ) ⊗ ( 1+ ( -1 ) ) ≠ ( -2 ) ⊗1+ ( -2 ) ⊗ ( -1 ) 如果不选交换律，选只有左分配律成立呢？我们也同样可以定义出一个运算 ⊗ 来：对任意两个整数 a 和 b，如果 a 是自然数，则 a⊗b=a×b；如果 a 是负数，那么 a⊗b=- ( a×b ) 。它满足对加法的左分配律，因为对任意整数 a，b 和 c，如果 a 是自然数，那么
a⊗ ( b+c ) = a× ( b+c ) = a×b+a×c = a⊗b+a⊗c而如果 a 是负数，那么a⊗ ( b+c ) = - ( a× ( b+c ) ) = - ( a×b+a×c ) = ( - ( a×b ) ) + ( - ( a×c ) ) = a⊗b+a⊗c当然，它不会再满足交换律和右分配律了，例子大家可以自己举。它是负负得负的：如果 a 和 b 都是负数，那么 a×b 是正数，而 a⊗b=- ( a×b ) 则是负数。
只选右分配律成立当然也可以类似论证。七、结论于是我们可以说，负负得正的乘法在实际中非常有用。而对于象司汤达这样从数学方面对负负为何得正有疑问的人，我们可以回答：整数乘法对加法的左分配律、右分配律和乘法的交换律这三个性质里，如果觉得至少应有两样成立，那么这样的乘法，只有唯一一种，就是我们平时用的负负得正的普通乘法。而对这三个性质，尤其是左右分配律，我们有很好的理由希望它们继续成立。如果他有相当个人的看法，表示并不在乎这些性质是否成立，或只在乎其中之一成立，那么我们的回答是：是的，在这种情况下，你完全可以定义出负负未必得正的 " 乘法 " 来——但这也只能算是相当个人的 " 乘法 " 了。
六、
